OIMU-2020-P5

Enunciado

Sexa $x$ un número real. Para cada enteiro positivo $n$, sexa $A_n$ a matriz $n\times n$ tal que $a_{ii}=x$, $a_{ij}=1$ se $|i-j|=1$ e $a_{ij}=0$ se $|i-j|>1$. Probar que se o determinante de $A_n$ é positivo para todo enteiro positivo $n$, entón $x\ge 2$.

---

Resolución

Solución

Sexa $d_n$ o determinante de $A_n$ para cada enteiro positivo $n$. Desarrollando o determinante pola primeira columna obtemos $d_{n+1}=x{d}_n-d_{n-1}$ para todo enteiro positivo $n$ (tómase por convención $d_0=1$ para que o anterior se cumpra con $n=1$). Temos $d_1=x$. Se $d_1>0$ entón $x>0$. A recursión linear para $d_n$ danos unha fórmula do tipo $d_n=c_1{\alpha }^n+c_2{\beta }^n$ para todo $n\ge 0$, onde $\alpha$ e $\beta$ son as raíces da ecuación $Y^2-xY+1=0$. Si $0<x<2$, pódese escribir $x=2\cos (\theta )$, para un certo $\theta \in (0,\pi /2)$, e as solucións da ecuación van ser $\alpha =e^{i\theta }=\cos (\theta )+i\sin (\theta )$ e $\beta =e^{-i\theta }=\cos (\theta )-i\sin (\theta )$, e entón ${\alpha }^n=e^{in\theta }=\cos (n\theta )+i\sin (n\theta )$ e ${\beta }^n=e^{-in\theta }=\cos (n\theta )-i\sin (n\theta )$, para certas constantes $b_1,b_2$. Como $d_0=1$ e $d_1=x=2\cos (\theta )$, debemos ter $b_1=1$ e $b_2=\cos (\theta )/\sin (\theta )$, entón: $d_n=b_1\cos (n\theta )+b_2\sin (n\theta )=\frac{\sin (\theta )\cos (n\theta )+cos(\theta )\sin (n\theta )}{sin(\theta )}=\frac{\sin ((n+1)\theta )}{\sin (\theta )}.$ Como $\theta \in (0,\pi /2)$, existe un enteiro positivo $n$ tal que $\pi <(n+1)\theta <2\pi$, para o cal $d_n=\sin ((n+1)\theta )/\sin (\theta )$, o que contradí a hipótese $d_n>0$, $\forall n$.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!