APMO-2024-P1

Enunciado

Atopa o maior conxunto finito e non baleiro $S\subset {\mathbb{Z}}^{+}$ cumprindo que se $n,m\in S$, entón $\frac{n+m}{(m,n)}\in S,$ onde $(m,n)$ é o máximo común divisor de $m$ e $n$.

Resolución

Primeiro observamos que se $k\in S$, entón $\frac{k+k}{(k,k)}=2\in S.$ Vexamos que non existe ningún enteiro impar en $S$ por redución ao absurdo. Supoñamos que $S$ contén algún enteiro positivo impar e sexa $k\in S$ o maior enteiro impar en $S$. Como $(k,2)=1$, teríamos que $\frac{k+2}{(k,2)}=k+2\in S,$ pero $k+2$ é un enteiro impar en $S$ maior que $k$, o que é unha contradición. Logo, $S$ unicamente contén enteiros pares.

Supoñamos que existe un elemento par estritamente maior que $2$ en $S$ e sexa $l\in S$ o menor enteiro positivo satisfacendo estas condicións. Así, teríamos que $\frac{l+2}{(l,2)}=\frac{l+2}{2}=\frac{l}{2}+1\in S.$ Como $\frac{l}{2}+1\in S$, necesariamente $\frac{l}{2}+1$ é par. Ademais, por ser $l>2$, $\frac{l}{2}+1>2$. Como $l$ era o menor enteiro par en $S$ maior que $2$, necesariamente $\frac{l}{2}+1\ge l$, ou, equivalentemente, $l\le 2$. Chegamos entón a unha contradición, polo que $S$ está formado por un único elemento: $S=\{2\}$.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!