BKT_Sholapurkar_3_1

Enunciado

Sexa $f\in \mathcal{C}([0,1])$. Calcular ${\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^{1}n{t}^{n}f(t)\text{d}t$

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Resolución

Solución

Sabemos que ${\lim }_{n\to \infty }\frac{n}{n+1}f(1)=f(1)$ e que ${\int }_0^{1}n{t}^n\text{d}t=\frac{n}{n+1}$, polo que vexamos que ${\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^{1}n{t}^{n}f(t)\text{d}t-\frac{n}{n+1}f(1)=0$.

${\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^{1}n{t}^{n}f(t)\text{d}t-\frac{n}{n+1}f(1)={\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^{1}n{t}^{n}f(t)\text{d}t-{\int }_0^{1}n{t}^{n}f(1)\text{d}t={\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^{1}n{t}^n(f(t)-f(1))\text{d}t$.

Como $f$ é continua en $[0,1]$, $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0/|f(t)-f(1)|<\epsilon ,\forall t\in (1-\delta ,1]$ e $\exists M>0/|f(t)|\le M,\forall t\in [0,1]$. Así:

${\lim }_{n\to \infty }\left|{\int }_0^{1}n{t}^n(f(t)-f(1))\text{d}t\right|\le {\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^1\left|n{t}^n(f(t)-f(1))\right|\text{d}t={\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^{1-\delta }n{t}^n\left|f(t)-f(1)\right|\text{d}t+{\int }_{\delta }^{1}n{t}^n\left|f(t)-f(1)\right|\text{d}t<{\lim }_{n\to \infty }2M{\int }_0^{1-\delta }n{t}^n\text{d}t+{\int }_{\delta }^{1}n{t}^n\epsilon \text{d}t={\lim }_{n\to \infty }2M\frac{n}{n+1}(1-\delta {)}^n+\epsilon \frac{n}{n+1}=\epsilon ,\forall \epsilon >0$

Polo tanto, ${\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^{1}n{t}^{n}f(t)\text{d}t-\frac{n}{n+1}f(1)=0$ e ${\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^{1}n{t}^{n}f(t)\text{d}t={\lim }_{n\to \infty }\frac{n}{n+1}f(1)=f(1)$.

Solución 2

Primeiro, denotemos por $T_n\in \mathcal{C}([0,1]{)}^{\prime }$ a $T_{n}f={\int }_0^{1}n{t}^{n}f(t)\text{d}t$ e por $T\in \mathcal{C}([0,1]{)}^{\prime }$ a $Tf=f(1)$. Se $f(x)=x^k$ con $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$, ${\lim }_{n\to \infty }{T}_{n}f={\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^{1}n{t}^{n}f(t)\text{d}t={\lim }_{n\to \infty }\frac{n}{n+k+1}=1=T(f)$ Así, se $f$ é un polinomio, ${\lim }_{n\to \infty }{T}_{n}f=Tf$. Como os polinomios son densos en $\mathcal{C}([0,1])$, comprobando que ${\lim }_{n\to \infty }{T}_n\in \mathcal{C}([0,1]{)}^{\prime }$, xa estaría, por ser ambos funcionais continuos e coincidir nun conxunto denso. Para ver que ${\lim }_{n\to \infty }{T}_n$ é continuo, veremos que é limitado. $|{\lim }_{n\to \infty }{T}_{n}f|=\left|{\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^{1}n{t}^{n}f(t)\text{d}t\right|={\lim }_{n\to \infty }\left|{\int }_0^{1}n{t}^{n}f(t)\text{d}t\right|\le {\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^1|n{t}^{n}f(t)|\text{d}t\le {\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^{1}n{t}^n||f|{|}_{\infty }\text{d}t=||f|{|}_{\infty }{\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^{1}n{t}^n\text{d}t=||f|{|}_{\infty }{\lim }_{n\to \infty }\frac{n}{n+1}=||f|{|}_{\infty }$ Así, $||T||\le 1$ e $T$ é limitado.

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Dúbidas & Comentarios

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