PPFRJ-001

Enunciado

Demostrar que existen infinitos números primos empregando ideas topolóxicas.

---

Resolución

Solución

Para cada $a,b$ números enteiros con $b\ne 0$ consideramos o subconxunto de $\mathbb{Z}$: $a+b\mathbb{Z}=\{\dots ,a-2b,a-b,a,a+b,a+2b,\dots \}$ e a clase $\mathcal{B}$ de subconxuntos de $\mathbb{Z}:\mathcal{B}=\{a+b\mathbb{Z}:a,b\in \mathbb{Z},b\ne 0\}$, é dicir $\mathcal{B}$ é a clase de todas as progresións aritméticas non constantes en $\mathbb{Z}$. Dado que $a+b\mathbb{Z}=a-b\mathbb{Z}$ tamén podemos supoñer que $b>0$. Vexamos que $\mathcal{B}$ cumpre as dúas coñecidas condicións para formar base dunha topoloxía en $\mathbb{Z}$.

• Como $0+1\mathbb{Z}=\mathbb{Z}$ se verifica trivialmente que $\mathbb{Z}$ es unión de elementos de $\mathcal{B}$.
• Sean $a+b\mathbb{Z}$ y $a^{\prime }+b^{\prime }\mathbb{Z}$ elementos de $\mathcal{B}$ y $c\in (a+b\mathbb{Z})\cap \left(a^{\prime }+b^{\prime }\mathbb{Z}\right)$, entonces $a+b\mathbb{Z}=c+b\mathbb{Z}$ y $a^{\prime }+b^{\prime }\mathbb{Z}=c+b^{\prime }\mathbb{Z}$. Se $d$ é o mínimo común múltiplo de $b$ e $b^{\prime }$ é claro que $c\in c+d\mathbb{Z}\subset (c+b\mathbb{Z})\cap \left(c+b^{\prime }\mathbb{Z}\right)$. Concluímos logo que $\mathcal{B}$ é base para unha topoloxía $\mathcal{T}$ en $\mathbb{Z}$.

Para cada primo $p$ o subconxunto de $\mathbb{Z}$, $F_p=\mathbb{Z}-((1+p\mathbb{Z})\cup (2+p\mathbb{Z})\cup \dots \cup ((p-1)+p\mathbb{Z}))$ é pechado pois é o complementario dunha unión de abertos (que é abierto). Sexa agora $F={\bigcup }_p{F}_p$ onde $p$ varía no conxunto dos números primos. Se só existise un número finito de primos, entón $F$ sería unión finita de pechados e polo tanto, pechado. Dado que $F_p=p\mathbb{Z}$ todo enteiro $k\ne \pm 1$ pertenece a algún $F_p$, é dicir $\mathbb{Z}-F=\{-1,1\}$. Pero claramente $\{-1,1\}$ non é aberto por non ser unión de progresións aritméticas non constantes e polo tanto $F$ non é pechado.

Polo tanto, da hipótese de existir so un número finito de primos chegamos ao absurdo de que existe un conxunto $F$ nuna topoloxía $\mathcal{T}$ que é á vez pechado e non pechado. Conclúese entón que existen infinitos números primos.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!