PPPJMM-P93

Enunciado

Se $p\ge 7$ é un número primo, atopar todos os posibles restos de dividir $p^2$ entre $30$.

---

Resolución

Solución

$7^2=49$ deixa resto 19 ao dividilo entre 30 e $11^2=121$ deixa resto 1 ao dividilo entre 30. Vexamos que son as únicas opcións posibles. $30=2\cdot 3\cdot 5$. $p$ é impar, logo $p^2\equiv 1(\mathrm{mod}2)$. Ademais, $p^2\equiv 1(\mathrm{mod}3)$. En consecuencia, módulo 6 a congruencia só pode ter valor 1. De aí conclúese que módulo 30 a congruencia só pode ter os valores $1,7,13,19,25$. $p^2$ non é múltiplo de 5, logo $p^2\equiv 1(\mathrm{mod}5)$ ou $p^2\equiv 4(\mathrm{mod}5)$. Das opcións anteriores só quedan 1 e 19.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!