SID-2526-P2

Enunciado

Probar que

$$\frac{e^b-e^a}{b-a}>e^{\frac{a+b}{2}},\forall a,b\in \mathbb{R},a\ne b.$$

---

Resolución

Pista

Reescribe o problema en termos de $m=\frac{a+b}{2}$ e $d=\frac{b-a}{2}$.

Solución

Considerando $m=\frac{a+b}{2}$ e $d=\frac{b-a}{2}$, o problema tradúcese en

$\frac{e^{m+d}-e^{m-d}}{2d}>e^m⟺\frac{e^d-e^{-d}}{2d}>1,\forall d\ne 0$

A expresión da esqueda é a da función $\frac{\sinh d}{d}$, que é analítica (se a extendemos a $1$ en $d=0$). A súa expansión de series de potencias é ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{d^{2n}}{(2n+1)!}=1+x$, con $x>0$ se $d\ne 0$, polo que $\frac{\sinh d}{d}>1,\forall d\ne 0$.

Solución 2

Considerando $m=\frac{a+b}{2}$ e $d=\frac{b-a}{2}$, o problema tradúcese en

$\frac{e^{m+d}-e^{m-d}}{2d}>e^m⟺\frac{e^d-e^{-d}}{2d}>1,\forall d\ne 0$

A expresión da esqueda é a da función $f(d)=\frac{\sinh (d)}{d}$, que é analítica (se a extendemos a $1$ en $d=0$). $f^{\prime }(d)=\frac{d\cosh d-\sinh d}{d^2}\ne 0$ para $d\ne 0$ e $f^{\prime }(0)=0$. $f^{\prime \prime }(0)=\frac{1}{3}>0$, polo que $f$ ten un mínimo absoluto estrito en $d=0$ e $\frac{\sinh d}{d}>1,\forall d\ne 0$.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!