USAMO-1974-P1

Enunciado

Sexan $a,b,c\in \mathbb{Z}$ tres enteiros distintos e $P$ un polinomio con coeficientes enteiros. Demostra que non se poden dar simultaneamente as igualdades $P(a)=b$, $P(b)=c$ e $P(c)=a$.

---

Resolución

Pista

Sexan $a,b\in \mathbb{Z}$ e $P\in \mathbb{Z}[X]$. Entón $(a-b)|(P(a)-P(b))$.

Solución

Supoñamos que se dan as tres igualdades á vez. Pola propiedade indicada anteriormente terase que $a-b|P(a)-P(b)=b-c|P(b)-P(c)=c-a|P(c)-P(a)=a-b$ Por esta cadea pechada de divisibilidades, deducimos que $|a-b|=|b-c|=|c-a|$ Supoñamos que $a-b=-(b-c)$. Entón $a=c$, que é unha contradición. Polo tanto $a-b=b-c$, logo $a=2b-c$. Sustituíndo nas igualdades, quédanos que $|b-c|=|c-a|=|c-(2b-c)|=|2c-2b|=2|b-c|⟹|b-c|=0.$ Conclúese que $b=c$, que de novo é unha contradición.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!