PUTNAM-1979-A2

Enunciado

Para que valores de $k\in \mathbb{R}$ podemos atopar unha solución $f:\mathbb{R}⟶\mathbb{R}$ continua para $f(f(x))=k{x}^9$?

---

Resolución

Pista

Para que valores de $k$ podes atopar unha solución sinxela? Pode haber máis $k$? Trata de probar propiedades sinxelas de $f$.

Solución

É doado ver que $f(x)=k^{\frac{1}{4}}{x}^3$ funciona, polo tanto $k\ge 0$. Se $k\ne 0$, $f$ debe ser bixectiva pois $f\circ f$ é bixectiva (composición bixectiva implica unha inxectiva e a outra sobrexectiva). Como $f$ é continua, $f$ debe ser estrictamente monótona. Tanto se $f$ é estrictamente monótona crecente como decrecente, a composición debe ser estrictamente crecente. Por ende, é imposible ter $k<0$, pois $k{x}^9$ sería decrecente.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!