USCGrao-Continuidade-01

Enunciado

Sexa $f:\mathbb{R}⟶\mathbb{R}$ unha función derivable e sexa $a\in \mathbb{R}$ tal que $f^{\prime }(a)>0$. Podemos afirmar que exista un entorno de a no cal $f$ sexa crecente?.

---

Resolución

Pista

Intentar buscar unha intuición gráfica.

Solución

Dita afirmación é falsa. O crecemento no entorno tería que vir acompañado da derivada positiva no mesmo entorno, non só nun punto. Pode pasar que sempre existan puntos tan próximos como queiramos a $a$ con derivada positiva e negativa. Un contraexemplo para a afirmación vén dado por: $f(x)=\{\begin{array}{c}\frac{x}{2}+x^2\sin (\frac{1}{x}),\forall x\in \mathbb{R},x\ne 0\\ 0,x=0\end{array}$ Esta función é continua e derivable en todo punto, con derivada: $f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{2}+2x\sin (\frac{1}{x})-\cos (\frac{1}{x}),\forall x\in \mathbb{R},x\ne 0\\ \frac{1}{2},x=0\end{array}$ Tomando $a=0$, temos que $f^{\prime }(a)=\frac{1}{2}>0$, pero ao redor de 0 a derivada oscila infinitamente entre $1$ e $-1$.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!