USCGrao-Álxebra-01

Enunciado

Sexa $p\in \mathbb{N}$ un primo. Chamamos polinomios ciclotómicos aos da forma: $X^{p-1}+X^{p-2}+\dots +X+1.$ Probar que os polinomios ciclotómicos son irreducibles en $\mathbb{Q}[X]$ e $\mathbb{Z}[X]$.

---

Resolución

Pista

Expresar o polinomio como cociente de outros dous.

Solución

Primeiro notar que como todos os coeficientes son iguais a $1$, a irreducibilidade en $\mathbb{Q}[X]$ implicará a irreducibilidade en $\mathbb{Z}[X]$.

Escribamos $f:=X^{p-1}+X^{p-2}+\dots +X+1$. Resulta que ao multiplicalo por $X-1$, temos $(X-1)f=X^p-1$, polo que $f=\frac{X^p-1}{X-1}.$ Agora, realizando o cambio de variable a $X+1$, quédanos $f_{X+1}=\frac{(X+1{)}^p-1}{X}.$ Pola fórmula do binomio de Newton teremos $f_{X+1}=\frac{\sum _{k=0}^p\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k}\right)X^{p-k}-1}{X}=\frac{\sum _{k=0}^{p-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k}\right)X^{p-k}}{X}=\sum _{k=0}^{p-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k}\right)X^{p-k-1}.$ Denotando por $b_k:=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{p-k-1}\right)$, $k\in \{0,\dots ,p-1\}$, temos que $f_{X+1}=\sum _{k=0}^{p-1}{b}_k{X}^k$.

Como $p|b_k$, $\forall k\in \{0,\dots ,p-2\}$, $p\nmid b_{p-1}=1$ e $p^2\nmid b_0=p$, polo criterio de Eisenstein $f_{X+1}$ é irreducible en $\mathbb{Q}[X]$, do que se deduce polo criterio de cambio de variable que $f$ tamén o é.

---

Dúbidas & Comentarios

Nesta sección pódesnos deixar as túas dúbidas e comentarios a cerca do problema anterior. Non teñas teima en preguntar, estamos aí para botar unha man!